04. MATEMATIKA "Geometri"

I. Persamaan Trigonometri Sederhana
1. Jika sin x = sin α, maka:
x = α + k ∙ 360° atau
x = (180° - α) + k ∙ 360°, untuk k bilangan bulat
2. Jika cos x = cos α, maka:
x = α + k ∙ 360° atau
x = - α + k ∙ 360°, untuk k bilangan bulat
3. Jika tan x = tan α, maka:
x = α + k ∙180°, untuk k bilangan bulat
Contoh:
Tentukan himpunan penyelrsaian dari persamaan berikut ! (0°≤ x ≤360°)
sin x = cos 15°
Penyelesaian:
sin x = cos 15°, 0°≤ x ≤360°
⇔ sin x = cos (90°-70°)
⇔ sin x = sin 75°
(i) sin x = sin 75°, maka
x = 75° + k ∙ 360°
untuk k = 0
x = 75° + 0 ∙ 360° = 75°
untuk k = 1
x = 75° + 0 ∙ 360°
= 435° (tidak memenuhi)
(ii) sin x = sin 75°, maka
x = (180°-75°)+ k ∙ 360°
untuk k = 0
x = 105°+0 ∙ 360° =105°
untuk k = 1
x = 105°+1 ∙ 360°
= 465° (tidak memenuhi)
Jadi, HP = {75°, 105°}
II. A. Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Rumus cos ( α+β ) dan cos ( α-β )
cos ( α+β ) = cos α cos β – sinα sin β
cos ( α–β ) = cos α cos β + sinα sin β
Contoh:
Tanpa tabel (kalkulator), hitunglah nilai dari cos 105°.
Penyelesaian:
Cos 105° = cos (60°+45°) = cos 60° cos 45° – sin 60°-sin 45°
= 1/2 ∙ 1/2 √2 - 1/2 √3 ∙ 1/2 √2 = 1/4 √2 -1/4 √6 = 1/4 √2 - √6
Jadi, cos 105° = = 1/4(√2 – √(6 ))
Rumus sin ( α+β ) dan sin ( α-β )
sin ( α+β ) = sin α cos β + cos α sin β
sin ( α–β ) = sin α cos β - cos α sin β
Contoh:
Hitung sin 255° tanpa kalkulator (tabel)!
Penyelesaian:
sin 255° = sin (180°+ 75°) = -sin 75°
= -sin (45 + 30)° = -(sin 45° cos 30° + cos45° sin 30°)
= -[(1/2 √2 ∙ ( 1)/2 √3)+( 1/2 √2 ∙ 1/2)] = -( 1/4 √6+1/4 √2) = - 1/4(√6+√2)
Jadi, sin 255° = - 1/4(√6+√2)
Rumus tan ( α+β ) dan tan ( α-β )
tan ( α+β ) = (tan∝ +tanβ)/(1-tanα tanβ)
tan ( α–β ) = (tan∝ +tanβ)/(1+tanα tanβ)
Contoh:
Diketahui sin A= 15/13, cos B= 7/25 dengan A dan B sudut lancip. Tentukan :
tan (A+B) b. tan (A–B)
Penyelesaian:
tan (A+B) = (tan∝ +tanβ)/(1-tanα tanβ) = (5/(12 )+24/7)/(1-5/12 ∙ 24/7) = ((35+288)/84)/((84-120)/84) = 323/(-36)
tan (A–B) = (tan∝ +tanβ)/(1+tanα tanβ) = (5/(12 )+24/7)/(1+5/12 ∙ 24/7) = ((35-288)/84)/((84+120)/84) = (-253)/204
II. B. Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Rumus sin 2α
sin 2α = 2sin α cos α
Contoh:
Diketahui sin α= 12/13 , (α sudut lancip), tentukan nilai sin 2α !
Penyelesain:
sin α= 12/13 , maka cos α= 5/13; sin 2α= 2sin α cos α= 2 ∙ 12/13 ∙ 5/13 = 120/169
jadi, sin 2α= 120/169
Rumus cos 2α
cos 2α = cos² α - sin² α
cos 2α = 1-2 sin² α
cos 2α = 2 cos² α-1
Contoh:
Diketahui sin A= 12/13 , (A sudut lancip), tentukan nilai cos 2A
Penyelesaian:
cos 2A= 1-2 sin²A= 1-2 ∙ 144/169= (169-288)/169= (-199)/169
Jadi, nilai cos 2A= -199/169
Rumus tan 2α
tan 2α = 2tanα/(1-tan²α)
Contoh:
Jika A sudut lancip dan sin A= 3/5 , hitung tan 2A.
Penyelesaian:
Dari sin A= 3/5 , maka tan A= 3/4 sehingga:
tan 2A= 2tanα/(1-tan²α) = (2∙(3/4))/(1-(3/(4 ))²) = (6/4)/(1-9/16) = (6/4)/(7/16) = 24/7
jadi, nilai tan 2A= 24/7
Rumus sin 3α dan cos 3α
sin 3α = -4 sin²α + 3 sin α
cos 3α = 4 cos² - 3 sin²α ∙ cos α
Contoh:
Jika sin α = 1/10 , hitunglah nilai sin 3α !
Penyelesaian:
sin 3α = -4 sin²α + 3 sin α = -4 ∙ 1/1000 + 3 ∙ 1/10 = (-4+300)/1000 = 296/1000
jadi, sin 3α = 296/1000
Rumus untuk Sudut 1/2 α (sin1/2 α , cos 1/2 α ,tan 1/2 α )
sin1/2 α = ±√((1-cos⁡α)/2 ); cos 1/2 α = ±√((1+cos⁡α)/2 )
tan 1/2 α = (sin α)/(1+cos α) , untuk cos α ≠ -1 atau tan 1/2 α = (1-cos⁡α)/sin⁡α , untuk sin ≠0
Contoh:
Hitunglah nilai dari: a. sin 15° b. cos 15° c. tan 15°
Penyelesaian:
sin 15° = √((1-cos⁡〖30°〗)/2) = √((1-1/(2 ) √3)/2) = 1/2 √(2-√3)
cos 15° = √((1+cos⁡〖30°〗)/2) = √((1+1/(2 ) √3)/2) = 1/2 √(2+√3)
tan 15° = √(1-1/(2 ) √3) /√(1+1/(2 ) √3) = √((2-√3)/(2+√3))×√((2-√3)/(2-√3)) = √((7-4√3)/(4-3)) = √(7-4) √3
III. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan untuk Sinus, Cosinus, dan Tangen.
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
cos α + cos β = 2cos 1/2 ( α+β ) cos 1/2 ( α–β )
cos α - cos β = -2sin 1/2 ( α+β ) sin 1/2 ( α–β )
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
sin α + sin β = 2sin 1/2 ( α+β ) cos 1/2 ( α–β )
sin α - sin β = 2cos 1/2 ( α+β ) sin 1/2 ( α–β )
Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen
tan α + tan β = (2 sin⁡〖(α+β)〗)/cos⁡〖(α+β)+cos⁡(α-β)〗
tan α - tan β = (2 sin⁡〖(α-β)〗)/cos⁡〖(α+β)+cos⁡(α-β)〗
Contoh:
Nyatakan cos 7A + coc 5A dalam bentuk perkalian !
Nyatakan bentukn berikut dalam bentuk perkalian(bentuk paling sederhana) ! sin 7x° - sin 3x° !
Tentukan nilai dari tan 75° – tan 15°
Penyelesaian:
cos 7A + coc 5A = 2cos 1/2 ( α+β ) cos 1/2 ( α–β )
= 2cos 1/2 ( 7A+5A ) cos 1/2 ( 7A–5A )
= 2cos 1/2 (12A) cos 1/2 (2A)
= 2cos 6A cosA
Jadi, cos 7A + coc 5A= 2cos 6A cosA
7x° - sin 3x° = 2cos 1/2 ( α+β ) sin 1/2 ( α–β )
= 2cos 1/2 ( 7x+3x )° sin 1/2 ( 7x–3x )°
= 2cos 5x° sin 2x°
Jadi, 7x° - sin 3x° = 2cos 5x° sin 2x°
tan 75° – tan 15° = (2 sin⁡〖(α-β)〗)/cos⁡〖(α+β)+cos⁡(α-β)〗
= (2 sin⁡〖(75-15)°〗)/cos⁡〖(75+15)°+cos⁡(75-15)°〗
= (2 sin⁡60°)/cos⁡〖90°+cos⁡60°〗
= (2 1/2 √3)/(0+1/2)
= 2√3
Jadi, tan 75° – tan 15° = 2√3

Posted in: TUGAS FLASH